23년 6월 수학다락방의 키워드는 #확률 #기대값 입니다.
멘토의 프리뷰영상을 보고 확률과 기대값이 무엇인지 확인해보세요 :)
승률 100%의 확률게임을 만들어보고 친구에게 공유 해주세요 :)
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수학[23년 6월 수학 주제] #확률 #기댓값
무조건을 수학적으로 확률로 증명이 가능할까?
본인이 생각한 질문의 배경(이유)
2학년 2학기에 확률을 공부하면서 생긴 궁금증인데 이 세상에 확실한 '무조건'이라는 것을 확률로 증명할 수 있을까? 무조건이 확률적으로 계산이 기능할까? 무조건이 무조건 100%라고 증명할 수 있을까?
낮은 확률임을 알고도 도전하는 이유는 무엇일까?
본인이 생각한 질문의 배경(이유)
게임에서 아이템을 뽑고, 경품 추첨에 당첨되기 위해 물건들을 구입하는 등 우리는 살아가며 낮은 확률에 도전하는 경우가 많습니다. 하지만 이것에 도전하는 모두 이들이 낮은 확률이라는 사실을 알고 있습니다! 그렇다면 왜 더 많은 것을 들여서 불확실한 보상을 얻으려 하는 것일까요?
점진적으로 더 많은 이익을 얻을 수 있어서 일까요? 하지만 이런 이유에서라면 내가 당첨되어 손해를 보지 않고 이익을 남기게 되는 확률은 도대체 어떻게 알 수 있는 것일까요?
점진적으로 더 많은 이익을 얻을 수 있어서 일까요? 하지만 이런 이유에서라면 내가 당첨되어 손해를 보지 않고 이익을 남기게 되는 확률은 도대체 어떻게 알 수 있는 것일까요?
모든 선택지가 나올 확률이 같은 내기가 있을까?
본인이 생각한 질문의 배경(이유)
사람들은 순서를 정하는 등 내기를 해야 할 때
동전던지기, 가위바위보와 같은 게임을 합니다.
하지만 동전던지기는 앞면과 뒷면이 나오는 비율이 다르고, 가위바위보도 여러 상황적 배경 때문에 확률이 같다고 할 수 없습니다.
그 밖에도 윷을 던질 때 또한 각각의 경우가 나오는 확률은 같지 않습니다.
하지만 우리가 내기를 하는 이유는 모든 사람이 이길 확률이 같다고 생각하기 때문입니다.
그렇다면 이러한 사람들의 니즈를 충족시켜 줄, 확률이 완전히 동등한 내기가 있을까요?
아직 없다면, 어떤 형식일 수 있을까요?
동전던지기, 가위바위보와 같은 게임을 합니다.
하지만 동전던지기는 앞면과 뒷면이 나오는 비율이 다르고, 가위바위보도 여러 상황적 배경 때문에 확률이 같다고 할 수 없습니다.
그 밖에도 윷을 던질 때 또한 각각의 경우가 나오는 확률은 같지 않습니다.
하지만 우리가 내기를 하는 이유는 모든 사람이 이길 확률이 같다고 생각하기 때문입니다.
그렇다면 이러한 사람들의 니즈를 충족시켜 줄, 확률이 완전히 동등한 내기가 있을까요?
아직 없다면, 어떤 형식일 수 있을까요?
행동과 확률의 관계
본인이 생각한 질문의 배경(이유)
인간 행동과 확률 간에는 어떤 상관 관계가 있을 수 있을까요? 예를 들어, 우리가 확률에 어떻게 반응하고 의사 결정에 어떤 영향을 미치는지 알아볼 수 있을까요?
가위 바위 보는 진짜 공평할까
본인이 생각한 질문의 배경(이유)
우리는 평소 내기를 할때 공평하다고 생각하는 가위 바위 보를 합니다. 하지만 가위 바위 보를 여러번하다 보면 이기는 사람이 여러번 이기는 경우가 있습니다. 그럼에도 가위 바위 보는 공평할까요?
카이스트에서 조를 편성할 때 같은 조였던 팀원과 다시 한 팀이 될 확률은 얼마나 될까?
본인이 생각한 질문의 배경(이유)
내가 84명을 다 알게 되려면 얼마나 걸릴까?에서 질문이 파생되었다. 조가 편성될 때 만나지 않았던 조원과 함께할 때마다 같은 조였던 사람을 만날 확률은 높아진다. 이러한 특징에서 또다른 질문도 만들어 졌다 -> 같은 조였던 사람을 2번 만나는 것과 연속 2번으로 처음보는 팀원을 만나는 것 중 어떤 것이 먼저 나올 확률이 클까?
위 글에 부과적인 설명))만약 15명을 알고 있다면 만날 확률은 15/84다. 이번 조에서 아는 사람 1명을 만나면 1명을 제외한 4명을 알게되니까 다시 만날 확률은 19/84이지만 이번 조에서 아는 사람이 없다면 5명이 늘어나서 20/84가 된다.
위 글에 부과적인 설명))만약 15명을 알고 있다면 만날 확률은 15/84다. 이번 조에서 아는 사람 1명을 만나면 1명을 제외한 4명을 알게되니까 다시 만날 확률은 19/84이지만 이번 조에서 아는 사람이 없다면 5명이 늘어나서 20/84가 된다.
바둑돌이 29개가 있다. 마지막 돌을 가져가는 사람이 이기는 게임이다. 한번에 최대 5개까지 바둑돌을 가져갈 수 있는데 필승전략을 세워보자.
본인이 생각한 질문의 배경(이유)
가장 기본적인 NIM게임이다. 먼저 게임을 시작할것. 29÷6=4.....5 처음에 5개의 바둑돌을 가져오고 다음부터는 상대방의 바둑돌과 합해 6이 되는 바둑돌의 갯수 만큼 가져오면 이길 수 있다. 이 게임이 재미있는 이유는 조건을 바꾸면 전략도 달라지고 여러 수식으로 나타내누 것도 가능하기 때문이다. 바둑돌을 홀수개만큼 혹은 짝수개만큼 가져오거나 마지막에 가져오는 사람이 이기거나 지거나 하는 등 여러 조건으로 좀 더 복잡한 필승 수식을 만들어보고 싶다.
우리의 확률은 공정할까?
본인이 생각한 질문의 배경(이유)
우리는 일상을 살면서 수 많은 선택에 순간에 놓이게 된다. 그러한 순간 속에서 한 번씩은, 특히 남들과 함께 결정해야하는 순간에는
모두 같은 확률을 가지고 있는 주사위, 가위바위보, 제비뽑기 등 '공정한' 확률에 우리의 미래를 맡겨본 경험이 있을 것이다.
하지만 승률이 모두 1/3라고 생각하는 가위바위보, 1/6이라고 생각하는 주사위가 사실은 아니라면, 불공정하다면, 당신은 어떤 감정을 느낄 것 같은가?
자세히 알아보면 일반적으로 사용하는 정육면체 주사위의 경우, 각 면 마다 파여있는 홈의 갯수가 다르고, 일반적으로 파인 홈의 크기는 같으므로
이에 따라 각 면의 무게도 각각 달라지게 된다. 이것이 주사위의 질량중심의 변화를 이르켜 각 면이 나올 확률이 1/6이 아니게 만든다는 것이다.
(출처 : 주사위 속 질량중심의 변화에 따른 확률 변화에 관한 연구)
가위바위보의 경우, 사람의 심리가 확률에 영향을 끼치게 된다. 참고 자료들을 보자.
모두 같은 확률을 가지고 있는 주사위, 가위바위보, 제비뽑기 등 '공정한' 확률에 우리의 미래를 맡겨본 경험이 있을 것이다.
하지만 승률이 모두 1/3라고 생각하는 가위바위보, 1/6이라고 생각하는 주사위가 사실은 아니라면, 불공정하다면, 당신은 어떤 감정을 느낄 것 같은가?
자세히 알아보면 일반적으로 사용하는 정육면체 주사위의 경우, 각 면 마다 파여있는 홈의 갯수가 다르고, 일반적으로 파인 홈의 크기는 같으므로
이에 따라 각 면의 무게도 각각 달라지게 된다. 이것이 주사위의 질량중심의 변화를 이르켜 각 면이 나올 확률이 1/6이 아니게 만든다는 것이다.
(출처 : 주사위 속 질량중심의 변화에 따른 확률 변화에 관한 연구)
가위바위보의 경우, 사람의 심리가 확률에 영향을 끼치게 된다. 참고 자료들을 보자.
"가위바위보에서 이긴 사람은 다음 차례에 자신이 냈던 패를 유지했고, 진 사람은 다음 차례에 자신이 냈던 패를 내지 않는 경향이 발견된 것이다. 심지어 바위, 보, 가위를 내서 진 사람은 다음 차례에 각각 보, 가위, 바위를 내는 것으로 나타났다.(중략) “이 연구결과를 통해 가위바위보 게임에서 이길 수 있는 확률을 높이는 전략을 세울 수 있을 것”이라며, “참가자들이 패를 무작위로 낸 것처럼 보이지만, 뇌에서는 이러한 경향이 이미 체계화되어 조건반사적인 반응으로 나타난 것”이라고 덧붙였다."(출처 : 가위바위보에서 이길 수 있는 전략이 있다? / 동아사이언스 / https://www.dongascience.com/news.php?idx=4621)
위의 인용한 글에 따르면 사람들이 자신의 승/패에 따라 일정한 행동경향을 갖는다고 한다.
또 해당영상(https://www.youtube.com/watch?v=oORlgTtoSwc)을 참고하면 사람들이 게임으로인한 긴장상태로 인해 주먹을 많이 내거나, 같은 손 모양을 연속하여 낼 확률이 현저히 낮다는 등의 행동경향을 띈다고 말한다. 따라서 해당 사실을 아는 사람들은 미리 상대의 행동을 예측하고 행동해 승률을 높일 수도 있어 가위바위보 또한 완벽히 승률이 1/3인 공정한 게임이 아닐 수 있다.
이와같이 우리가 "공정"하다고 착각하던 "불공정"한 확률은 또 무엇이 있고, 있다면 우리 삶에 어떠한 영향을 끼치고 있을 지 궁금하여 해당 질문을 만들게 되었다.
한 사람의 관점에 따라 확률이 다르게 말해질 수 있을까?
본인이 생각한 질문의 배경(이유)
수학적으로는 어떠한 사람이든지에 관계없이 한 사건에 관하여 항상 확률이 같다라고 말할 것으로 계산이 되지만, 실제로 따져보면 실생활에서 그렇지 않은 경우가 더 많은 것 같다.
전체의 복권을 산 사람이 1000명이라고 할 때 그 중 정해진 100명 중 포함되어 있는 사람에게 복권에 당첨될 확률을 묻는 것과 그 외의 100명에 포함되어 있는 사람에게 복권에 당첨될 확률을 묻는 것에 관한 질문은 사실을 수학적으로 같지만 이 둘의 관점이 달라 그 100명에 포함되어 있는 사람이 그 확률을 더 높게 대답한다고 한다
전체의 복권을 산 사람이 1000명이라고 할 때 그 중 정해진 100명 중 포함되어 있는 사람에게 복권에 당첨될 확률을 묻는 것과 그 외의 100명에 포함되어 있는 사람에게 복권에 당첨될 확률을 묻는 것에 관한 질문은 사실을 수학적으로 같지만 이 둘의 관점이 달라 그 100명에 포함되어 있는 사람이 그 확률을 더 높게 대답한다고 한다
스도쿠 게임을 할 때 만약 둘 중에 한 숫자를 찍어야만 한다면 확률을 따져 해당 숫자를 구하는 것이 가능할까?
본인이 생각한 질문의 배경(이유)
전에 스도쿠 게임을 하다 잘못 찍어 게임을 다시 시작하게 된 적이 있다 스도쿠 게임은 자리에 맞는 숫자를 주변 숫자를 이용해 찾는 게임이지만 내게 도움이 될 만한 숫자가 별로 없다면 어쩔 수 없이 찍어야만 하는 일도 발생했었다. 이때 답이 정해져 있는 문제도 확률을 통해 숫자를 알아내는 것이 가능한지 궁금하다
드라마 <오징어 게임>에 나오는 징검다리 게임을 변형한 확률게임
본인이 생각한 질문의 배경(이유)
드라마 <오징어 게임>에는 징검다리 게임이 나옵니다. 이 징검다리 게임에서 살아남을 확률을 구하는 것은 1/2를 계속 곱하는 방식으로 비교적 간단한데요.
그렇다면 이렇게 게임을 변형하면 어떨까요?
2*10 형식으로 징검다리가 놓여 있다고 해 봅시다. 여기에 무작위로 5개의 칸이 밟으면 죽는 칸이라면 살아남을 확률은 어떻게 구할 수 있을까요?
그렇다면 이렇게 게임을 변형하면 어떨까요?
2*10 형식으로 징검다리가 놓여 있다고 해 봅시다. 여기에 무작위로 5개의 칸이 밟으면 죽는 칸이라면 살아남을 확률은 어떻게 구할 수 있을까요?
사람의 삶이 전부 확률로 이루어진 것이 아닐까?
본인이 생각한 질문의 배경(이유)
사람이 살아가면서 어떠한 결정으로 인하여 특정 행동을 하고 그 행동으로 인하여 또 다른 삶을 살아가게 되는데 결국 잠을 자는 것과 같은 인간에게 불가항력적인 것들도 카페인과 같은 잠을 줄여주는 것을 먹는다는 경우의 수에 의해 바뀔수 있는 것이 아닐까? 라는 생각이 들어 이 질문을 하게 되었다.
게임과 확률
본인이 생각한 질문의 배경(이유)
게임에서 랜덤으로 문제나 블럭이 나오는 게임이 있다고 하자.
한 문제가 다시 나올 확률은 몇일까?
한 문제가 다시 나올 확률은 몇일까?
주관식 문제를 찍어서 맞출 확률은 몇일까?
본인이 생각한 질문의 배경(이유)
보통 객관식 문제의 경우 찍어서 맞출 확률이 오지선다의 경우 20%, 사지선다의 경우 25% 등, 찍어서 맞출 확률을 정확히 구할 수 있지만 주관식 문제의 경우 주어진 보기 없이 정답을 맞혀야 하기 때문에 찍어서 맞출 확률이 매우 낮다. 그렇다면 주관식 문제를 찍어서 맞출 확률을 구하려면어떤 변수를 어떻게 적용시켜야 하며, 또 오지선다를 찍어서 맞출 확률보다 얼마나 낮을지 궁금하여 이러한 질문을 하게 되었다.
확률적 게임을 많이 하면 승률이 높아질까?
본인이 생각한 질문의 배경(이유)
모든 게임이 그렇듯이 확률적 게임도 많이 하다보면 노련함 이 쌓일 것이다.
그렇다면 확률적 게임에서 노련함이 쌓인다면 확률을 꾀뚫게되어 승률이 올라갈까?
아니면 확률은 조건이 변하지 않는이상 변하지 않으니 그대로일까?
그렇다면 확률적 게임에서 노련함이 쌓인다면 확률을 꾀뚫게되어 승률이 올라갈까?
아니면 확률은 조건이 변하지 않는이상 변하지 않으니 그대로일까?
불공평한 확률 게임과 세워지는 동전
본인이 생각한 질문의 배경(이유)
불공평한 확률 게임에 대한 문제를 풀던 중, 동전 던지기가 주제로 나왔었다.
동전의 앞면이 나올 확률을 p로, 뒷면이 나올 확률을 (1-p)로 두고 문제를 풀었었는데,
동전 앞 뒷면의 확률 차이도 고려할 정도면,
동전이 세워질 확률도 생각해야 하지 않을까라는 생각이 들었다. 그런데 고민되는 점은,
동전의 앞 뒷면은 면 형태이기 때문에 딱 2가지로 정해지지만,
동전의 옆면은 원주에 가까운 형태이기 때문에 동전 원주 임의의 점이 정확히 지면에 닿아서 유지되면 세워지는 것이다.
그렇다면, 원주의 점은 굉장히 많으므로, 이 경우 확률은 어떻게 고려해야 할까? 실제로 원주위의 점이 면에 정확히 닿을 확률을 q라고 두면 그것과 관계없이 1에 수렴하는 확률이 되는데, 이는 앞 뒷면이 나올 확률이 0에 가까워져야 하는 상황이 된다. 따라서 우리의 경험적 확률상 모순이 발생한다.
이것의 문제점은 무엇일까?
그리고 주사위를 불공평한 기댓값으로 만들려면, 소수가 연속해서 나올 확률과 소수 다음에 소수가 아닌 1과 6사이의 자연수로 두면 충분할까?
우리가 주사위를 애초부터 불공평한 확률 게임으로 만들기 위해 할 수 있는 일은 무엇이 있을까?
동전의 앞면이 나올 확률을 p로, 뒷면이 나올 확률을 (1-p)로 두고 문제를 풀었었는데,
동전 앞 뒷면의 확률 차이도 고려할 정도면,
동전이 세워질 확률도 생각해야 하지 않을까라는 생각이 들었다. 그런데 고민되는 점은,
동전의 앞 뒷면은 면 형태이기 때문에 딱 2가지로 정해지지만,
동전의 옆면은 원주에 가까운 형태이기 때문에 동전 원주 임의의 점이 정확히 지면에 닿아서 유지되면 세워지는 것이다.
그렇다면, 원주의 점은 굉장히 많으므로, 이 경우 확률은 어떻게 고려해야 할까? 실제로 원주위의 점이 면에 정확히 닿을 확률을 q라고 두면 그것과 관계없이 1에 수렴하는 확률이 되는데, 이는 앞 뒷면이 나올 확률이 0에 가까워져야 하는 상황이 된다. 따라서 우리의 경험적 확률상 모순이 발생한다.
이것의 문제점은 무엇일까?
그리고 주사위를 불공평한 기댓값으로 만들려면, 소수가 연속해서 나올 확률과 소수 다음에 소수가 아닌 1과 6사이의 자연수로 두면 충분할까?
우리가 주사위를 애초부터 불공평한 확률 게임으로 만들기 위해 할 수 있는 일은 무엇이 있을까?
경험적 확률의 정확도를 높이는 방밥은 무엇일까?
본인이 생각한 질문의 배경(이유)
확률론에서는 크게 두 가지의 관점이 있다.
하나는 빈도주의이고, 다른 관점은 베이즈 주의이다.
책을 읽다가 베이즈 확률론에 관한 내용을 접하게 되었는데, 빈도주의의 계산된 확률이 아닌 경험적인 데이터를 통해 추론되는 궈납적 확률이라는 사실이 인상적이었다. 하지만 귀납적 탐구의 문제점인 결과를 100% 신뢰할 수 없다는 내용이 떠올랐고, 이런 문제를 해결하기 위한 알고리즘에 대해 궁금해졌다.
어떻게 하면 베이즈 확률처럼 경험적 사고로 이루어지는 확률 계산의 정확도를 높일 수 있을까? 확률이 정확할 확률을 높여주는 수학적인 알고리즘을 찾거나 만들 수 있을까?
하나는 빈도주의이고, 다른 관점은 베이즈 주의이다.
책을 읽다가 베이즈 확률론에 관한 내용을 접하게 되었는데, 빈도주의의 계산된 확률이 아닌 경험적인 데이터를 통해 추론되는 궈납적 확률이라는 사실이 인상적이었다. 하지만 귀납적 탐구의 문제점인 결과를 100% 신뢰할 수 없다는 내용이 떠올랐고, 이런 문제를 해결하기 위한 알고리즘에 대해 궁금해졌다.
어떻게 하면 베이즈 확률처럼 경험적 사고로 이루어지는 확률 계산의 정확도를 높일 수 있을까? 확률이 정확할 확률을 높여주는 수학적인 알고리즘을 찾거나 만들 수 있을까?
테트리스에서 특정 턴 안에 질 확률을 계산할 수 있을까?
본인이 생각한 질문의 배경(이유)
테트리스 게임에서 위에서 떨어지는 블록의 모양은 복불복이고 상황, 그리고 모양에 따라 줄을 없애기가 어려울 수도, 쉬울 수도 있다. 특정 턴 수 안에서 떨어지는 블록의 모양, 그리고 플레이어가 블록을 놓을 수 있는 자리를 고려하여 확률을 계산할 수 있을지 궁금하여 이 질문을 생각했다.
미래 인공지능은 감정에 대한 것도 확률로 계산할 수 있을까?
본인이 생각한 질문의 배경(이유)
사람들은 흔히 감정은 AI에겐 불가능하다고 말한다. 그들은 그걸 이해하지도, 느끼지도 못한다는 것이다. 하지만 인간사에 관련된 감정적인 행위를 계속 습득하다보면 상황에 따라 어떤 행동이 나올지 예측할수도 있지 않을까? 연예 프로를 계속해서 학습한 AI에게 짝사랑과의 상황을 알려주면, 짝사랑이 성공할 가능성을 알려주는 것도 가능해지지 않을까?
본인이 생각한 질문의 배경(이유)