선생님도 사람들이 실생활에서 활용하기엔 참값보다 근삿값이 훨씬 편하기 때문이라고 생각하는데요, 사실상 일상생활에서 물체의 길이나 시간 등의 측정은, 이론상 완벽한 참값을 구하는 것이 불가능하다고 봐요. 우리가 눈으로 아무리 정교하게 측정을 한다고 해도 1mm의 오차를 낼 수밖에 없겠죠? 물론 학문적인 연구에서는 예전엔 측정할 수 없던 것을 새로운 방법론으로 측정해내서 발전시킨 경우도 많아요. (ex : 방대한 계산을 해낼 수 있는 컴퓨터의 발견) 하지만 실생활에서 좀 더 유용하게 쓰이는 근삿법도 알아둘 필요가 있다고 생각합니다!

연두 학생 꾸준한 참여 고마워요! 선생님은 새로운 수학 표기법의 발명이 근사로만 활용하던 것들을 좀 더 실제 값에 가깝게 구할 수 있게 도움을 준 가장 큰 발전이라고 생각해요. 분수의 표기가 없을 때에는 3명이 하나를 나눈다는 개념을 설명하기 어려웠고, 무리수의 표기가 없을 때에는 두 번 곱해서 2가 되는 수를 표현할 수 없었죠. 그리고 삼각함수의 표기는 여러 도형의 변 길이를 중간 과정에서 직접 구하지 않아도 최종적으로 삼각함수를 이용할 수 있게 해주었죠. 다른 친구들 생각은 어떤가요?

해당 영상의 어디에서 논리적 모순이 생기는지 한번 생각해볼까요? 삼각형의 변을 반으로 나누고, 반으로 나누고, ... 하는 과정에선 모순이 없습니다. 길이의 합이 유지되죠. (n번 자르면, 길이가 1/2^n인 변들이 2x2^n개 생겨서 합이 2입니다) 하지만! 갑자기 이를 반복하면 직선이 된다! 라는 부분은 논리적 근거가 없죠. 이는 어떤 말과 같냐면, 정삼각형의 크기가 엄청 작아지면, 그 두 변의 길이 합이 나머지 길이와 같다는 얘기입니다. (?!) 우리가 무한대, 극한을 다룰 때 조심해야 할 점은 반드시 그럴 것이라는 "직관"을 한번 더 확인할 필요가 있어요.

0.999... 라는 표기법이 나타내는 값이 무엇인가? 를 생각해보면 도움이 될 것 같네요.위 표기법은 어떤 실수 값을 직접 나타내지는 않아요. 하지만, 우리가 "수"를 나타냈다는 것은 그에 대응되는 "값"이 있어야 해요. 예를 들어서 root2라는 표기법은, "제곱하면 2가 되는 수"라는 값에 대응되죠. 그렇다면 0.999...는 어떤 값에 대응될까요? 이에 대한 답을 얻기 위해서, 다음과 같은 질문들을 생각해보면 좋을 것 같아요. 1) 0.999...는 정확히 어떻게 정의되는가? 0.999...은 0.9도 아니고, 0.99도 아니고, 0.9999...999도 아니에요. 0.999...의 정의는 0.9, 0.99, 0.999, ....이런 수열이 어느 값에 가까워지는가? 입니다. 2) a1=0.9, a2=0.99, ..., an=0.99...9(9가 n개), ... 이 수열은 n이 커질수록 어느 값에 가까워지는가?

0.999999...=1이 맞답니다. 저도 궁금해서 학원쌤께 물어봤더니 대학가서 수학전공하면 해석학을 배우게 되는게 그거 배우면 알게 될거니까전공할거 아니면 그냥 1이 맞다고 알아두라네요..

굉장히 좋은 질문이에요!! 실제로 공학에서 필요에 의해서 값을 계산할 때 테일러 전개식을 사용한다면 일반적으로 이계도함수, 아무리 많아봐야 삼계도함수까지만 사용합니다. x-a의 값이 일반적으로 굉장히 작은 범위에서 테일러 전개식을 사용하기 때문에, |x-a|<0.01이기만 해도, 삼계도함수에 곱해지는 값이 10^(-6)이게 되어서 굉장히 작아지게 되죠.

f(x)가 n+1번 미분하는게 가능하면 n+1이 무한이라는 조건이 없으면 테일러 정리는 무한한 차수로 안 나아가는데 질문에서는 n+1이 무한이라고 하지 않으셨는데 오류가 있는거 같아요 그리고 sin cos은 대입만 하면 되는데 오히려 테일러 정리 쓰면 일반적인 방법으로 못 구하기 때문에 어려운데 정확하게 알고 계신가요? sin pi(라디안) 구한다고 pi-((pi^3)/6)+((pi^5)/120)-... 이렇게 계산 안 하고 일반적인 각 아니더라도 미적분 배우면 덧셈정리 배각공식 3배각공식 같은거 써서 구하면 되는 걸로 알고 있어요~

선생님이 볼 때마다 사람들에게 설명하고 싶던 질문을 성원 친구가 해주었네요! :] 0.999...와 1은 무슨 차이인가? 같은 수인가 다른 수인가? 찬찬히 설명해볼게요. 수학을 배울 때 수의 체계를 자연수, 정수, 유리수로 확장해나갔죠. 그런데 유리수를 소수로 표현해보고자 했더니, 순환소수라는 무한히 반복되는 형태의 소수가 나타났죠. 사람들은 이 소숫점 아래가 무한히 반복되는 수를 간단히 표기하기 위해서 반복되는 구간 위에 점을 찍어서 표기하거나, 뒤에 ...을 붙여서 표기했죠. 그런데, 이런 표기법이 기존에 우리가 알던 어떤 자연수, 정수, 유리수 (혹은 실수)를 쓸 때 사용되었던 방법인가? 라고 묻는다면, 아니에요. 한마디로 0.999...라는 표기법은 무한히 반복되는 소숫점 아래를 나타내기 위해 새로 사용된 표기법에 불과해요. 그런데 수학에서 어떤 수를 썼을 때, 그 수는 "값"을 가져야 해요. 대부분의 교육과정에서 "값"이라고 한다면 실수 값이라고 생각하면 돼요. 하지만 0.999...와 같은 표기는 어떤 실수 값을 직접적으로 나타내는 표기법은 아니에요. 그렇다면 ...처럼 무한히 반복된다는 표기법을 썼을 때의 값은 어떻게 정의되는가? 가 바로 궁금증을 해결해줄 수 있는 키워드입니다! 아래와 같은 수열을 생각해봅시다. a1=0.9, a2 = 0.99, a3 = 0.999, ...an= 0.999999999(9가 n개), ....... 위 수열은 n이 커질수록 어느 값에 가까워지는 것처럼 보이나요? 아마 1이라는 것을 모든 여러분이 유추할 수 있을 거예요. 그렇다면 0.999...라는 표기법은, 아래 보기 중 어떤 값을 가진다고 보는 것이 맞을까요? 1) 0.999...=a1=0.9이다! 2) 0.999...=a10 = 0.9999999999이다! 3) 0.999...의 값은 an이라는 수열이 최종적으로 가까워지는 값과 같다고 봐야 한다. 이 경우 1이다. 우선 위 질문에 대해서 생각해보면 좋을 것 같아요. 생각해 볼 시간을 갖고, 필요하면 선생님이 더 설명해볼게요!

a^0 1인데 왜냐하면 a^0에서 a가 0이 아닌 실수라면 항등원이라서 1이예요 예를 들어 3^1*3^0=3*3^0=3^(1+0)=3^1=3이니까 3^0은 바로 1 나와요 그리고 0^0은 x^x에서 x가 0으로 간다고 극한을 취하면 e(자연로그)^0 나와서 1이라서 모순이 없어요 그리고 0.999...=1을 증명하는 방법은 많은데 중2 에서 증명하는 게 모순이라고 하니 다른 거 알려드릴게요 등비급수의 합에서 공비가 -1보다 크고 1보다 작으면 (초항/1-공비)이 등비급수의 합인데 0.999..를 9/10+9/100+9/1000...로 보면 공비가 1/10이 되고 앞서 말씀드린 공식에 대입하면 9/10/(1-1/10)=9/10/9/10=1이라서 증명 되요 엡실론 델타 쓰는 방법도 있는데 기호가 많아서 못 적겠네요

좋은 질문이네요! 근사의 오류는 계산 과정에서 쉽게 일어날 수 있는데요. 특히 고등학교 과정에서 극한을 배울 때 근사를 잘못 이용해서 실수하는 경우가 많이 생겨요. 하지만 극한보단 일상생활에서 찾아볼 수 있는 근사를 생각해보고, 이에 대해서 서휘 학생의 질문을 생각해보면 좋을 것 같네요!

1/0으로 가는 수=무한으로 발산하지만 그냥 1/0은 값이 없어요 무리수는 설명해 주신 것처럼 하면 될 것 같고 자연로그는 ln써서 ln(e)=1이니까 ln에 값을 넣어보면서 구하면 될 것 같고 0.999...는 그냥 1이예요

어떤 수열을 임의로 만들어보고, 그 수열에서 규칙을 찾아보는 것은 어떤가요? 예시로 피보나치 수열에서 인접한 두 항의 비율은 어떻게 변하는지 생각해 볼 수 있겠네요!

1) 150m ∵피라미드의 높이를 a라 할 때 a : 200 = 3 : 4 ∴ 4a = 600, a= 150(m) 2) 범위: 142.5m(최솟값)~157.5m(최댓값) ∵ 150m의 5% = 7.5m ∴ (150-7.5)m~(150+7.5)m ⇒142.5m~157.5m

1) 150m, 이유. 피라미드 길이 : 피라미드 그림자 길이 = 막대 길이 : 막대 그림자 길이 = 21 : 28 = 3 : 4, 피라미드 그림자 길이 = 200m, 3 : 4 = x : 200m, x = 150m 2) 142.5m~157.5m, 이유. 200m 의 5% = 10m, 그림자 길이 = 190m~210m,3 : 4 = x : 190, x = 142.5, 같은 방법으로 210도 대입하면 157.5 이기 때문에

민준 학생이 질문해 준 것처럼, 옛날 사람들은 원의 넓이를 어떻게 더 정밀하게 구할 수 있을까? 를 고민했겠죠. 이를 위해서 원에 내접/외접하는 정다각형의 넓이를 구하고, 원의 넓이는 그 두 넓이의 사이에 있는 값이라는 결론을 얻었죠. 이를 정밀하게 했을 때, 오차없이 원의 넓이를 나타내는 데 필요한 값을 찾아냈고, 이를 pi라고 보면 될 것 같아요. 만약 우리가 루트, 파이 등 무리수라는 개념이 없다고 생각하고 임의의 도형의 넓이를 구한다고 생각해보면 정말 어려운 문제가 될 것 같네요. "밑변 길이가 2, 높이가 1인 직사각형의 대각선을 한 변의 길이로 하는 정사각형의 넓이는 어떻게 구할까?"를 무리수(root 등)를 사용하지 않고 생각해보면 도움이 될 것 같아요!

굉장히 좋은 질문이네요! 가장 간단한 경우를 생각해보면, 선생님은 어떤 삼각형의 넓이를 구할 때, 평행선을 써서 밑변이 같고 높이가 같은 직각삼각형을 이용해서 구하는 방법이 떠오르네요. 삼각형이 아닌 경우엔 어떤 방법이 있을까요?

다각형의 내각의 합을 구하는 방법으로 다각형을 여러 삼각형으로 나누어서 계산하는 방법이 떠오르네요! 또 다른 방법이 뭐가 있을까요?

대훈 친구! 좋은 질문이네요! 정확한 설명을 위해선 함수의 연속이란 개념이 필요한데 혹시 배웠을까요?