제가 계산한 결과를 보니 답이 너무 길어서 답이 틀린 것 같긴 하지만 어쨌든 풀이라도 올려봅니다. 혹시 제 글에서 틀린 부분을 찾으시면 알려주세요! 제가 수식을 쓸 줄을 몰라서 엄청 복잡하게 글이 써졌는데 이해해주세요! 여기서 참고로 루트 4 는 루트(4)로 표시했습니다! 먼저 사진에서 넓이가 25*파이라 했는데 원의 넓이는 파이*r^2입니다. 따라서 S = 파이*r^2 = 25*파이, r^2 = 25, r = 5가 됩니다. 원의 반지름이 5이면 원의 지름이 10입니다. 하지만 삼각형의 한 변의 길이가 10이므로 사진대로라면 삼각형 안에 원을 놓을 수 없습니다. 하지만 올려주신 글에는 범퍼카의 넓이가 25라 하셔서 저는 원의 넓이를 25로 두고 계산했습니다. 여기서 원의 넓이는 25인데, 파이*r^2 = 25면, r^2 = 25/파이, r = 루트(25/파이)이므로 원(범퍼카)의 반지름은 루트(25/파이)입니다. 여기서 제가 첨부한 그림(https://ifh.cc/v-X6mYwp)을 보시면 삼각형 내부에 또 다른 삼각형(삼각형 CEG)이 있는데, 이 삼각형의 한 변의 길이를 먼저 구하겠습니다. 사각형 ACBI는 평행사변형이므로 선분 BC = 선분 AJ입니다. 여기서 선분 BC의 길이 = 원의 반지름 = 루트(25/파이)입니다. 따라서 선분 AJ의 길이는 루트(25/파이)입니다. 같은 방법으로 선분 DK의 길이도 루트(25/파이)입니다. 따라서 선분 AD의 길이는 10-2*루트(25/파이)입니다. 여기서 사각형 ABED는 평행사변형이므로 선분 AD의 길이는 선분BE의 길이와 같으므로 선분 BE의 길이도 10-2*루트(25/파이)입니다. 여기서 선분 BC의 길이는 루트(25/파이)이므로 선분 CE의 길이는 10-3*루트(25/파이)입니다. 그럼 여기서 사다리꼴 ACED의 넓이를 구하겠습니다. 사다리꼴의 넓이는 높이*(밑변+아랫변)/2인데, 여기서 높이는 루트(25/파이),밑변은 10-2*루트(25/파이), 윗변은 10-3*루트(25/파이)입니다. 따라서 사다리꼴 ACED의 넓이는 루트(25/파이)*{10-2*루트(25/파이)+10-3*루트(25/파이)}/2 =루트(25/파이)*(20-5*루트(25/파이))/2 =(20*루트(25/파이)-125/파이)/2 =10*루트*(25/파이)-125/(파이*2)입니다. 여기서 부채꼴 ABC의 넓이도 구하겠습니다. 부채꼴의 넓이는 부채꼴의 중심각의 크기를 x도라고 할 때 파이*r^2*(x/360)인데 부채꼴 ABC의 반지름은 루트(파이/25)이고, 중심각의 크기는 60도 이므로 부채꼴 ABC의 넓이는 파이*r^2*(1/6) =파이*{루트(파이/25)}^2*(1/6) =파이*(25/파이)*(1/6) =25/6입니다. 여기서 삼각형 CEG의 넓이도 구하겠습니다. 정삼각형의 넓이 공식은 한 변의 길이를 a라 할 떄 {루트(3)}/4*a^2인데 여기서 a는 10-3*루트(파이/25)이므로 삼각형 CEG의 넓이 ={루트(3)}/4*{10-3*루트(파이/25)}^2 ={루트(3)}/4*{100-60*루트(25/파이)+(225/파이)} =25*루트(3)-15*루트(75/파이)+{225*루트(3)/4*파이} ={(100파이+225)*루트(3)}/(4*파이)-15*루트(75/파이)입니다. 여기서 삼각형 JKL의 넓이는 정삼각형의 넓이 공식을 이용해 구하면 {루트(3)}/4*(10^2) ={루트(3)}/4*(100) =25*루트(3)입니다. 따라서 범퍼카가 닿지 않는 부분의 넓이는 (삼각형JKL의 넓이)-3*(사각형 ACED의 넓이)-3*(부채꼴ABC의 넓이)-(삼각형 CEG의 넓이) ={750-50*파이+(200*파이+225)*루트(3)}-30*루트(25/파이)+15*루트(75/파이)입니다.

와 굉장히 어려워보이는 문제인데요!! 친구들의 멋진 풀이를 기다려봅니다!

https://imgur.com/TZ2oPUm (답변입니다)

좋은 질문이네요. 구체적인 문제 상황을 제시해주면 다른 친구들이 답을 주기 더 수월할 거예요!

65537각형은 작도하는데 얼마나 걸릴까요..? (x_x)

재밌는 문제네요! 궁금한 부분이 하나 있는데, 정삼각형에 내접하는 정사각형은 어떻게 그려지나요?

별 모양의 넓이는 어떻게 표현되는지 궁금하네요! 그런데 별 모양의 넓이를 확실히 구하려면, 별에서 튀어나와있는 삼각형의 양옆변의 길이(2cm)뿐 아니라 아랫변의 길이도 주어져야 할 것 같네요. 아마도 2cm일때의 넓이를 구하고 싶었겠죠?

이거 문제가 좀 잘못되었는데요, 한변의 길이가 a인 삼각형의 높이는 (루트 3/ 2 )a 입니다. 그리고 삼각형의 넓이 공식은 높이 공식을 적분한 식인 (루트 3/4)a^2 입니다. 이런점을 참고하면 문제의 오류를 발견하실수 있으실겁니다. 우선 작성자님 말대로라면 24= (루트 3/4)*36 이 되야하는데 24=9루트3. 이렇게 나옵니다. 24와 9루트3은 엄연히 다른 식이겠죠?

그림은 밑에 첨부파일을 다운받으시면 볼 수 있습니다!^^

2πcm^2

3차원에서는 불가능하지만, 착시 효과를 이용해서 2차원 에서는 가능한 것처럼 만든 거예요.

6각형이 어떤 형태로 곂쳐있는지 그리과 함께 설명해주면 문제 푸는데 도움이 될 것 같네요!

어떤 형태로 오각형들이 붙여져있는지 그림도 올려줄 수 있을까요?? 그림과 함께면 문제를 이해하기 더 좋을 것 같아요!

건호 학생이 재밌는 질문을 해줬네요.걸려있는 줄이 어떤 형태를 가지는지 생각해 볼 필요가 있겠네요!

선생님 머리도 어지러워지는 기하 문제네요 @-@ 풀 수 있는 능력자 친구들 도와주세요!!

육각형부터는 대각선을 어떻게 긋냐에 따라서 그 길이가 달라질 수 있으니,이에 대한 추가적인 설명을 해준다면 굉장히 좋은 문제가 될 것 같아요!

문제가 짤린 것 같네요 다윤 친구ㅠㅠ 원본을 올려줄 수 있을까요?

저는 그림부터 보이네요 ㅎㅎ

정 n각형에서 중심으로부터 각 꼭짓점으로 선을 그으면, 그 사이 각도가 360/n이다.이 떄 선분의 길이를 x라고 하면, x^2는 제 2 코사인 법칙에 의해 (a^2)/(2-2cos(360/n))이 된다. 한 삼각형의 넓이가 1/2*x^2*sin(중심각)이므로, 한 삼각형의 넓이는, (a^2*sin(360/n)(4-4*cos(360/n))이 되고, 이 삼각형이 n개 있으므로, 전체 넓이는 n*(a^2*sin(360/n)(4-4*cos(360/n))이 된다.

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좋은 문제네요! 사각형 뿐 아니라, 다양한 다각형에 대해서도 확장해볼 수 있겠네요!

기하적인 풀이는 누구나 생각할 수 있을 것 같아서, 대수적인 풀이를 한다. 넓이의 최솟값의 경우, A,B,P가 한 점 위에 있을 수 있으므로, 정의되지 않는다. 그렇지만 넓이의 최댓값을 구할 수 있다. 기본적으로, 한 변이 고정되어있으므로, 높이가 최대가 되야한다. 직관적으로, 점P에서의 접선의 기울기가 직선 AB의 기울기와 같아야 한다. 직선 AB의 기울기는 -2이고, 원에 대해서 음함수의 미분법을 사용하여, 접선의 기울기를 구하면 점이 두 개 나오는 데((8,4)와 (-8,-4))이 경우중 높이가 가장 긴 것은 (-8,-4)이다.

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이 문제에서 원의 지름이 가장 길 때가, 5cm이다(정사각형 내접). 그리고, 이 원에서 정삼각형의 한 변의 길이가 아무리 길어도 절대로, 원의 지름과 같거나 클 수 없다. 원의 지름은 5보다는 작고(장사각형), 5보다 커야 하므로(정삼각형) 이런 원은 존재할 수 없고, 원의 넓이의 범위또한 존재하지 않는다.

반지름이 1인 원의 둘레는 2pi이다. 둘레가 2pi인 정삼각형의 한 변의 길이는 2pi/3일 것이고, 이 때 넓이는 (sqrt(3)pi^2)/9이다. 또한 정사각형의 경우, 한 변의 길이가 pi/2이고, 넓이는 (pi^2)/4이다. 고로, 두 정다각형의 넓이의 합은 ((4sqrt(3)+9)pi^2)/36이다

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H가 뭘까요?ㅠ

원의 경우 아무리 접하게 원을 그려도, 남는 공간이 필연적으로 존재한다. 그러므로, 원 밖의 넓이는 무한하다고, 볼 수 있다. 다른 정다각형들도 남는 공간이 존재하지만, 오직 삼각형, 사각형, 육각형만이 남는 공간없이 꽉 채울 수 있다. 만약, 삼각형, 사각형, 육각형으로 무한히 채운다면, 남는 공간이 없을 것이다. 하지만 무한의 개념의 모호함때문에 다각형(또는 원)의 바깥 넓이의 일정은 정의하기 어렵다.

승훈학생, 승재학생,다른 친구의 질문에 대한 활발한 토론 아주 좋아요!!

원 O가 있고, 이 원 O에 접하는 직선이 있다. 이 때 B,C는 이 직선 위 점이라 하자. 그러면 이 직선 위에 어느 두 점을 잡아도 원과 접하는 두 직선을 만들고 그 교점을 A라 하면, 삼각형 ABC이 원 O에 외접하게 된다. 그런데, 이 두 점 B,C를 무한히 떨어져도, A를 정의할 수 있고, 높이가 원의 지름보다는 크므로, 발산하게 된다. 비슷한 논리로 사각형에 대해서도 증명할 수 있다.

내 생각 무한히 발산할 것 같다