만약에 4X4 눈금으로 된 평면이 있다고 하면 맨 왼쪽 아래 끝에서 맨 오른쪽 위 끝까지 최소의 경로로 갈 수 있는 경우의 수는 무엇인가??

지도를 보다가 바둑판 모양의 길을 보게 되었고 그길을 가장 빨리 가게 되는 것이 궁금해졌다.

다음 그림과 같은 상자가 있다.
어떤 개미가 이 직사각형의 모서리를 타고 갈때, 
최단거리의 갯수는?
 

입체도형을 활용하고 싶었다

질문다락방.png

조합의 개념을 이용해서 최단거리 문제를 풀 수 있을까?

경로노가다를 하지 않고 최단거리 문제를 풀 수 있을까?

A가 (0,0) 위치에서 출발하여 (10,10) 위치에서 도착할 때 경우의 수를 구하여라.
(단 모든 조건을 만족시켜야 한다.)
조건
1. A는 위쪽이나 오른쪽으로 밖에 움직일 수 없다.
2. A는 직진으로는 한번에 최대 3칸까지 이동할 수 있다.
3. 직선에서 한번에 간 칸이 다르면 다른 경우라고 판단한다. 예)(0,0)에서 (3,0)으로 가는 경우의 수=> (1,1,1),(2,1),(1,2),(3)으로 4개

경로의 경우의 수를 구하는 문제에서 한번에 갈 수 있는 칸이 1칸이 넘었던 문제를 본 적이 없었던 것 같아서 한번 만들어 보고 싶었다.

한 칸의 길이가 1인 가로 5줄, 세로 5줄인 미로가 있다. 이 미로의 왼쪽 상단에서 오른쪽 하단으로 길을 찾아가려고 한다,
그런데 당신은 빨간 구슬 2개와 파란 구슬 2개를 지니고 있다.
빨간 구슬은 대각선으로 오른쪽 아래로 이동할 수 있게 해주며, 파란 구슬은 대각선으로 왼쪽 위로 이동할 수 있게 해준다.
이러한 경우, 이 미로를 나가는 방법은 총 몇 가지일까?

단, 지나간 길은 또 지나갈 수 없다.
그리고 이동할 곳이 없는 경우, 빨간 구슬과 파란 구슬을 사용할 수 없다.
빨간 구슬과 파란 구슬의 사용 횟수는 제한이 없다.

기존의 경우의 수 문제에서 대각선 이동이 가능하지만 횟수의 제한이 있도록 새로운 문제를 만들어보았다.

그림과 같은 길이 있고, 3개의 마법 터널 A,B,C 중 하나만을 통과하여 도착 지점까지 가야한다. 터널 안에 있는 길의 길이는 정확히 알 수 없고, 길의 길이가 얼마일지 비율만  알 수 있다. 

A터널은 길이가 1,2,6 중에 하나가 되는데, 그 비는 순서대로 4:2:4이다.(이 3개의 길이 이외에는 나오지 않으며 10번 통과했다고 가정하면 길이 1,2,6이 4번,2번,4번 꼴로 나오는 것을 기대할 수 있다.)
B터널은 길이가 2,4,5 중에 하나가 되는데, 그 비는 순서대로 7:1:2이다.
C터널은 무조건 길이가 1인 길이 있다.

문제1. 탐험가가 이곳을 지나간다고 할때 그가 갈 수 있는 길의 최단거리는 (A터널의 길이가 1인 경우)7이다.  출발에서 도착까지의 거리가 7이 되는 길의 경우의 수는 모두 몇가지일까?
-확률은 생각하지 않고 길의 가짓수만 생각한다.
-위의 그림에서 터널들의 넓이는 무시한다.
-작은 정사각형 한 변의 길이는 1이다. 
-A터널만을 지나야 한다.

문제2. 각 터널 길의 길이를 결정하는 비율을 고려할 때 어떤 터널을 지나는 것이 가장 효율적일까?
(각 터널을 지날 때 평균 거리를 구해 비교해보자.)

길의 길이가 화실히 정해지지 않은 경우의 길의 거리를 비교하는 문제를 만들어보고 싶었다.

좌표축에서 (0,0)을 A라 하고 (6,6)을 B라 하자. 이때 A에서 B까지 총 16번 움직여 도달하는 경우의 수를 구하시오.
(단, x=6, y=6을 넘는 곳의 점으로 이동하는 것을 허용하며 B를 몇번 지나는 것은 상관이 없으며 결론적으로 B에 도달하기만 하면 된다.)

평범하게 있는 최단거리 문제에 '좌표를 추가하면 어떨까?'라는 질문으로 시작해서 이러한 질문에 도달하게 되었다.
또한 그냥 최단거리로 문제를 내게된다면 너무 쉬워지기 때문에 4번을 추가로 이동해야한다는 변수를 넣어주었다.

장기의 판은 다음과 같이 생겼다. 이 중 馬는 한 차례 때


와 같은 모양으로 움직일 수 있다. 단, 馬가 이동하는 길, 즉 멱에 다른 말이 있으면 이동할 수 없다. 馬가 도착한 곳에 같은 팀의 말이 있으면 이동 불가, 다른 팀의 말이 있으면 잡을 수 있다. (체스에서의 Knight와 같이 이동하지만 길에 다른 말이 있으면 이동 불가능.)


宮(漢, 楚)은 체스에서의 King이라고 볼 수 있다. 한 차례 때 상하좌우 대각선을 포함한 한 칸을 이동할 수 있으나 궁성이라고 하는 가로 2, 세로 2의 정사각형 밖을 벗어날 수는 없다. 馬와 같이 움직이고 도착했을 때 같은 팀의 말이 있으면 이동 불가, 다른 팀의 말이 있으면 이동해 잡을 수 있다.
 
장기를 시작하기 전 각 팀은 원하는 위치로 馬와 像의 위치를 바꿀 수 있다(귀마, 원앙마, 양귀마).
 
초나라, 즉 파란 팀은 楚만 이동할 수 있고, 한나라, 즉 빨간 팀은 한 차례 때 두 개의 馬 중 하나를 이동할 수 있다고 가정해보자.
 
각 차례에는 반드시 말을 움직여야한다.
 
시작은 초나라이다.
 
두 개의 馬는 얼마나 빨리 楚을 잡을 수 있을까? 또한 이동하는 경로를 다르게 했을 때, 몇 가지의 경우의 수가 나올까?
 
두 개의 馬 중 하나의 마는 죽어도 된다. 하지만 두 개 모두가 죽으면 안된다.
 

그리고 馬 대신, 일보 전진 후 대각선으로 좌나 우로 두 칸을 가는 像으로 이 경우의 수와 최소 거리를 계산해보면 얼마나 빨리 楚를 잡을 수 있고, 이동하는 경로를 다르게 했을 때 몇 가지의 경우의 수가 나올까?

친척이나 가족과 장기를 둘 때 항상 져서 억울했는데, 위 문제의 답을 알게 된다면 지고나서 친척이나 가족에게 이 문제를 내면 그나마 덜 억울할 것 같다.

\(n=A\times V\times P / (R\times T)\), \(m_n=n\times m_a\), \(F=m_n\times g/2\), \(a=F/m\) 
(단, n은 공기 입자수, R은 기체상수,T는 절대온도, P는 압력, V는 속도, A는 단면적, mn은 기체의 질량, ma는 기체 1몰의 질량, F는 마찰력, g는 중력 가속도, a는 물체의 가속도, m은 물체의 질량, A는 공기와 수직으로 맏다아 있는 부분)
이다. 이때, 물체가 1atm, 300K의 온도에서 1mL의 물방울이 떨어질때 물방울의 종단속도를 구하여라.
(단, 물의 밀도는 1g/mL, 문방울은 정육면체 모양으로 가정한다.)

hint:종단속도는 가속도가 0이 되는 시점이다.

물리I과 화학I,II를 공부하다가 갑자기 생각이 났다.

거리 문제를 푸는 팁에는 무엇이 있을까? 좌표평면 또는 입체도형의 꼭짓점에서 다른 꼭짓점으로 가는 경우의 수를 구해야하는 문제들이 있다. 이런 문제를 풀 때 다음 꼭짓점으로 가는 경우의 수들을 모두 구해 곱하여 푸는 방법도 있고 간단한 경우 직접 계산하여 풀 수도 있다. 입체도형에서 넓이나 부피 등의 요소를 고려하거나 다른 입체도형과의 비교를 통해 최단거리(또는 최장거리)로 가는 경우의 수가 있을지 궁금하다. 

친구들만의 창의적인 최단거리(또는 최장거리)로 가는 경우의 수 구하는 방법이 있는지 궁금했다. 창의적인 방법이나 접근법이 있다면 나도 앞으로 문제 풀 때 그런 방법들을 사용해보고 싶다. 

한 입자가 좌표평면 위를 움직이고 았다. 임의의 격자점 (a,b)에서 입자는 (a+1, b), (a, b+1), (a+1, b+1) 중 한 곳으로만 움직일 수 있고 입자는 경로 중에 직각으로 방향전환을 할 수 없다. 이 입자가 (0,0)에서 (5,5)까지 최단거리가 아니여도 될 때, 움직이는 서로 다른 경로의 경우의 수를 구하여라.

보통 최단 거리나 최대 거리로 가는 경우의 수를 구하라는 문제들이 많은데 그런 조건 없이 몇 가지 규칙을 제시하고 경로를 구하라는 문제를 만들어보고 싶었다.

다음 공원(첨부했습니다)에서 입구로부터 출구까지 최소 시간이 되도록 걸어갈 때, 걸리는 최소 시간은?

복잡하면 머리로 계산하기 힘들 것 같아서 어떻게 풀 지 궁금해져서 이렇게 만들었다.

역대급_그래프.png

심심한 고양이가 친구 코알라를 만나려 가려고 합니다. 그런데 중간에 장난꾸러기 강아지가 방해를 합니다. 검은색 돌을 만나면 속도가 반으로 줄어들고, 장난꾸러기 강아지를 만나면 왔던 길 한칸을 되돌아 간다음 다시 앞으로 가야 합니다. 강아지는 최대 2번 고양이를 괴롭힐 수 있습니다. 고양이의 속력은 초속 2m 라고 한다면, 어떤 길로 가야 코알라를 가장 빨리 만날 수 있을지, 그리고 이때 시간은 얼마나 걸릴지도 함께 구하시오. ( 단, 작은 정사각형 한 변의 길이는 4m )
또, 최소 시간으로 가는 경우의 수는 몇 가지 일지 구하시오. 

최단경로에 관한 전형적인 문제들보다 재미있게 만들어 보고 싶었다. 

제목_없음.png

파이는 3.141592....인 숫자로 소숫점 아래 숫자가 무한히 늘어지는 비순환 소수이다.
여기서 이웃한 소숫점 아래 숫자간의 차이를 '거리'라고 하자.

그러면 파이의 소숫점 아래 20자리까지의 거리의 최소는 얼마일까?
그리고 거리의 최소가 나오는 경우는 몇가지일까?

마지막으로 파이의 소숫점 아래 자릿수(소숫점 아래 10자리, 30자리, 50자리...)를
점점 더 늘려가보면서 ‘거리’의 최소를 계산할 때, ‘거리’의 최소는 어떻게 변하고 
‘거리’의 최솟값이 나오는 경우의 수는 어떻게 변할까?

(단, 거리는 음수가 아닌 0~9까지의 숫자이다.
또한 파이의 가장 앞에 오는 3인 제외하고 계산한다.
예를 들어, 파이의 소숫점 아래 6자리 숫자까지의(3.141592)
‘거리’의 최소와 경우를 구해보면 ‘거리’의 최소는 1->4와 4->1인 경우에 3이고,
경우의 수는 2가지이다.)

거리의 최소는 보통 도형에서 존재하지만, 숫자에서의 최소도 구해보고 싶어서 이 문제를 냈다. 

신기한_PI.jpg

Q1. 오늘은 정말 더운 날이다. 학원이 끝나고 집에 오는 길에 전화가 왔다. "집에 가면 아이스크림 먹어도 돼^^"라고 엄마께서 말씀하셨다. 나는 얼른 집에 가서 아이스크림을 먹고 싶다. 집에 갈 수 있는 최단 경로의 길이는 얼마이며, 가짓수는 몇가지일까? (단, 한 칸의 세로 길이는 100m, 가로 길이는 400m라고 한다.)
 

집
					학원

수학 문제집서만 보던 재미없는 문제를 실생활에서 활용되는 예로 나타내고 싶어서

                                                                                                           끝

시작
 

이런 길을 최단경로로 이동하려면 어떻게 해야할까

(1) 어떤 방향으로 움직여야할까

(2) 각각 몇번 움직여야할까

(3) 예시 하나 짜보기 

(4) 이동을 다 다르다고 가정할때 (오른쪽을 이동하는것이 2번 필요하면 각각 오른쪽1 오른쪽2로 구분해서 생각) 순서를 짜는 방법

(5) 중복 나눠주기

(6) 일반화

팩토리얼은 알지만 직접 팩토리얼을 이용할때 어떻게 식을 세워야 하나를 찾을수 있도록 이를 유도하게 질문을 제작.

동화에 빨간모자는 할머니집으로 찿아간다 젤 짧게 도착할수 있는 거리는?

동화 빨간모자는 할머니집으로 찿아간다 그 길을 최단거리로 나타내면 더 빨리갈수 있지 안을까 생각했다.

좌표평면 위에 (2, 2)와 (144, 68)이라는 좌표점이 있다. 한 칸의 단위는 1이다. 이 두 점이 서로에게 최소 거리로 가는 경우의 수를 구하시오. 

좌표 위에서 점들끼리의 관계 등을 알고 좌표점으로 계산하는 것이 서툴었던 나이지만 직접 좌표 관련 경우의 수 문제를 만들고 풀어보며 극복하려고 한다. 

체스판에서 폰은 가장 약할 '졸병'이다. 그래서 사람들이 자주 "폰처럼 조종당했다"라고 한다(영화에서 들어본 적 있을 것이다). 그렇지만 폰이 아무 쓸모 없는 것은 아니다. 폰은 상대편 보드 맨 끝까지 가면, 킹을 제외한 그 어떤 말도 될 수 있다(이를 승진이라고 부른다). 여기서 질문이 나간다.

폰 하나가 왼쪽 끝에서 시작힌다(A2).
                   
 
이때, 폰은 앞으로만 갈 수 있기 때문에, 실질적으로 승진을 할 경우의 수는 단 하나뿐이다. 그렇다면, 폰이 승진을 한 뒤, 다시 원래 자리까지 돌아오는 경우의 수는 모두 몇 가지일까?(단, 칸 이동 수를 최소로 한다).                                                

평소 체스를 좋아해서, 경우의 수와 거리 문제라고 하니 이 생각이 났다. 

a≤x≤b일 때, 함수 y=cx²의 그래프에서 최댓값과 최솟값 사이의 거리를 구해라. (a<b, c≠0)

최대 최소 정리에 대해 읽어보다가 갑자기 떠올랐다.

어떤 이상한 사람이 길에다가 검은 선으로 그림을 그려놓았다.

호기심이 든 내 고양이는 출발 지점(빨간 점)에서 도착 지점(파란 점)까지 걸어갔다. 고양이는 동물통역가인 나에게 "내가 갈수 있는 가장 빠른 길로 찾아 갔어!" 라고 자랑했다. 내 고양이가 지나간 거리를 구하고, 그 경우의 수를 구하여라. (단, 한칸은 1m 이고, 루트 5는 2.2, 루트 2는 1.4로 계산한다.)

수학과 스토리를 섞어서 문제를 만들면 더 동기를 유발할수 있지 않을까 해서 이렇게 문제를 내게 되었다.

체스판의 끝 모서리 부분부터 대각선 모서리 끝 부분까지 최단거리로 가는 경우의 수는?

체스판이 이해를 하기가 쉬울것 같아 체스판으로 문제를 만들었다

여러분은 TV 예체능 프로그램 출연자 중 하나이다. 오늘의 촬영 장소는 보문산! 미션은 조별로 가장 먼 길로 돌아가서 꼭대기에 오르는 것이다. 단, 너무 멀리 가서 꼴찌로 오는 팀은 저녁으로 토마토 샐러드를 먹고, 나머지 팀들은 삼겹살을 구워 먹을 수 있다. 고기 냄새를 맡으며 샐러드를 먹는 "대참사"를 막기 위해 여러분은 무.조.건. 꼴찌를 면해야 한다. 이때 꼴찌를 면할 수 있는 경우의 수는? (단, 여러분은 로봇 슈트를 입고 있어서 걸음 폭이 모두 일정하다.)

TV 프로그램 제작진은 여러분에게 해결의 원활함을 위해 보문산 지도를 제공한다고 한다. (축척은 1:5000으로 둔다.)

 

수학 문제집을 풀다 보면 대부분 "최소 거리를 구해 보아라"라는 질문이 나온다. 그래서 "최대 거리는 못 구하나?"라는 의문이 들었다. 물론 구할 수 있지만, 범위를 정하지 않으면 무한히 나올 것이다. 따라서 가장 먼 거리를 제외한 경로를 구하는 것을 문제로 내 보았다.

보도블록의 짧은 변은 10cm이고, 긴 변은 20cm입니다. 이 보도블록 30개를 지나야 개미가 집에 도달할 수 있다고 할때, 개미가 어떻게  지나가야 가장 빨리 도달할 수 있을지 구하세요.(단, 보도블록 사이의 틈새가 개미가 지나갈 수 있는 유일한 길이고, 보도블록은 바둑판 모양으로 배열되어 있습니다.)

햄스터 코딩을 해본 적이 있는데, 햄스터 코딩처럼 문제를 만들어 보고 싶어서이다

체스판에서 끝쪽에 2번 붙고 가장 빠르게 반대편으로 이동하는 거리는 얼마일까?

체스판은 일정하게 사각형이 빈틈 없이 존재한다. 그래서 거리를 측정하기 쉬울 것 같다

여러가지 경우의 수 중 특정 경우만으로 최단거리를 보여줍니다.
이러한 특징은 네비게이터에서 잘 나타나죠.
하지만 최단거리의 경우는 1개로 끝나지 않을 수도 있습니다.
이 경우는 네비게이터가 어떠한 방식으로 대처하는지 궁금합니다.

평소 차나 택시를 타고 가다 네비게이터를 보면 이러한 생각을 했는데 주제가 마침 거리와 경우의 수여서 질문하였습니다.

빨간색 점에서 파란색 점으로 갈때 최단거리의 경우의 수를 구하시오. (공사구간은 지나갈 수 없음)

공사구간 때문에 기릉 못 지나갈때가 생각나서 이 문제를 만들게 되었다.

해밀턴 회로는 연결 그래프에서 모든 꼭짓점을 한번씩만 지나는 회로를 말한다. 그렇다면 이 해밀턴 회로에서 최소한으로 움직일때 최소 거리는 얼마이며 이때의 가능한 경우의 수는 얼마인가?

해밀턴 회로를 공부해보면서 해밀턴 회로는 완벽한 풀이가 밝혀지지 않았는데 이걸 푸는 과정에서 풀기위한 최소거리가 궁금해졌고, 이때의 경우의 수는 몇 가지가 있는지 찾아보아 이것이 해답과 관련이 있는지 찾아보고 싶었다.

99x99의 바둑판에서 왼쪽 위 꼭짓점부터 오른쪽 아래 꼭짓점까지 최소거리로 이동할수 있는 경우의 수는 모두 몇 가지인가?

키워드를 보니 문제가 생각남

1) 임의의 연결되어 있는 꼭짓점을 가진 도형에서 최단 거리를 지나고 모든 꼭짓점을 1개만 지나는 경로를 찾을 수 있는 알고리즘이 존재하는가?
2) 1)의 문제를 다항시간 내에 풀 수 있는가?
3) 1)의 최단 경로의 개수를 구할 수 있는 알고리즘이 존재하는가?
4) 3)의 문제를 다항시간 내에 풀 수 있는가?

해밀턴 경로에 대해 생각하다가 든 생각이다.

학원에서 26m떨어진 곳에 식당이 있고 식당에서 32m떨어진곳에 학교가 있고 분식집에서 문구점까지의 거리가 같다. 학원에서 문구점까지 가는 방법은 식당 학교를 거치는 방법, 식당 분식집을 거치는 방법 집 분식집을 거치는 방법으로 세가지이고 거리가 모두 같다. 또 힉교에서 집으로 갈때 분식집을 거쳐가는 길이 가장 길다고 한다. 집에서 분식집까지의 거리의 최솟값을 구하세요

옛날에 비슷한 문제를 풀어봐서 그 문제를 바탕으로 비슷한 문제를 거리와 범위를 이용해서 문제를 내보고 싶었다

넙죽이 모양의 판에서 A지점에서 B지점까지 갈 수 있는 경우의 수는 모두 몇 가지일까?

무슨 도형을 할지 생각하다가 넙죽이가 생각이 났다.
어려운 문제 아님

카이스트_넙죽이.png

8×8 체스판이 있다. zig - zag길을 다음을 만족하는 8개의 흰색 칸들의 모임이라고 하자. 
A) 각 열에 1칸씩 있다. 
B) 이웃한 두 열의 선택된 흰색 칸은 꼭지점을 공유한다. 
이때, zig - zag길의 개수를 구하여라. 
 

체스판의 부정 경로의 개수가 궁금했다. 

S = {(i , j) | i는 0 이상 5 이하, j는 0 이상 1 이하, i,j는 정수}라 하자. 은하는 좌표평면 위의 점 ( 0 , 0 )에서 ( 5 , 1 )까지 S의 원소 12개의 점을 모두 거쳐 이동하려 한다. 은하가 S의 한 점에서 다른 점으로 이동할 때, 두 점은 선분으로 연결된다. 선분이 교차하지 않도록 하면서 ( 0 , 0 ) 에서 ( 5 , 1 )로 이동할 때, 이동하는 경로의 수를 구하여라. 

교차하지 않게 이동하는 경로의 수가 궁금해졌다. 

카이 마을은 위와 같은 방사형 마을이다. 녹색 도로는 아직 개통하기 전이고, 각 이웃한 직선 도로 사이 각도는 60도이며, 각 이웃한 원형 도로 사이 거리는 1이다.
(1) A에서 B까지 가는 최단 거리는?
(2) A에서 C까지 가는 최단 거리는?
(3) A에서 O까지 가는 최장 거리는? (단, 같은 점은 2번 이상 지나지 않는다.)
(4) A에서 O까지 가면서 같은 점을 2번 이상 지나지 않는 최장 경로의 경우의 수는?
(5) A에서 O까지 가면서 같은 선을 2번 이상 지나지 않는 최장 경로의 경우의 수는? (단, 점 O에 도착하는 순간 이동을 멈춘다.)
(6) 어느 날, 녹색 도로가 개통했다. A에서 D까지 가는 최단 경로는 2가지가 있다고 한다. 이 때, \(\angle AOD\)의 크기는?

본 문제에서는 격자 모양 도로이고, 아래 있는 질문들도 대부분 격자 모양 도로에서 논하길래, 격자가 아닌 방사형 모양 도로에서는 어떻게 될지 궁금했다.

어떤루트로 가야 가장길고 가장짧은가?

가장짧고 가장긴것이 무었인지 궁금해서

꼭지점 A에서 B까지 갈수있는 경우의 수는 몇개일까?
단. 한번지나간 선분은 다시 지나가지 않는다.

다른질문들을 보고 떠올랐다.

20220806_115658.png

•     •     •    D
•     •     •    •
A    •    C    •
•     B          •
       •        



A를 시작점으로  B와 C를 지나 D를 도착점으로 하는 경우의수를 최대거리로 구하기

거리를 나타내려면 물체가 필요하고 알파벳을 넣어 조건을 추가해 최대거리로 도착점에 도착하는 문제가 생각 났다 
또 이문제는 정사각형이 아니라 다른 모형이로서 더욱 재밌을꺼 같아서 만들었다

직선으로 3번 (3칸) 이상 가지 않았을 때의 최단 거리는?

직선은 2칸 까지만 허용하면 최단 거리가 얼마인지 궁금해서

질문에 있는 A에서B까지의 최대거리와 최소거리를 구하는 양식(?)에서 반대로 B에서A까지의 최소거리와 최대거리를 다른길로 가도 같을까??

A에서B까지의 최대와최소의 거리를 구하면 B에서A까지의 최대와최소의 거리를 알 수 있을지 궁금해서입니다

한변에길이가 1cm인 정사각형은 가로 4cm세로4cm로이루어져있다A와B가 꼭짖점 을 통해서로만도착해서 제일긴수 최장거리에 수로
목적지에 도착하는 
경우에수는 무엇인가요?

선을지나치는것이아닌 
꼭짖점을 지나치는것으로 
방향을바꿔서 생각해보았다

.   .   .   .  C   일 때,  B를 지나 A에서 C까지 도달 할 수 있는 거리의 경우의 수 중 가장 작은 것을 찾으세요. 
.   B  .   .   .
A  .   .   .   .

경우의 수, 거리를 생각하니까 이 문제가 생각났다.

좌표평면에서, 점 A는 격자점에서 출발하여 이웃한 다른 꼭짓점으로밖에 이동할 수 없다고 한다.
점 A는 최단 경로로만 움직인다.
(1) 격자평면에서 A가 (3,3)에서 출발하여 (0,0)에 도착하는 경우의 수는 얼마인가?
(2) 삼각형으로는 정규 테셀레이션이 가능하다. 삼각형으로 정규 테셀레이션을 만들고 한 꼭짓점을 점B로 설정하자. 그 꼭짓점으로부터 루트75만큼 떨어진 점에 점A가 있다. 점 A가 점 B에 도착하는 경우의 수는 얼마인가?
(3) 정사면체와 정팔면체로는 입체 테셀레이션이 가능하다. 한 모서리의 길이가 1,2,4,8,16,32,64,128,256,512,1024인 정팔면체와 충분히 많은 한 모서리의 길이가 1인 정사면체를 활용하여 큰 정사면체 하나를 만들었다. 이 큰 정사면체 2개를 이어붙였을때, 만나지 않는 두 꼭짓점을 점 C,점 D라고 하자. 점 A가 점 C에서부터 점 D로 이동하는 경우의 수는 얼마인가?
(4) 정사면체와 정팔면체로는 입체 테셀레이션이 가능하다. 충분히 많은 한 모서리의 길이가 1인 정팔면체와 충분히 많은 한 모서리의 길이가 1인 정사면체를 활용하여 한 모서리의 길이가 2^n인 큰 정사면체 하나를 만들었다. 이 큰 정사면체 2개를 이어붙였을때, 만나지 않는 두 꼭짓점을 점 C,점 D라고 하자. 점 A가 점 C에서부터 점 D로 이동하는 경우의 수는 얼마인가?

거리의 최소하니까 좌표평면이 떠올랐고 좌표평면중 격자평면은 정사각형의 정규테셀레이션이므로 테셀레이션을 떠올렸고, 정사면체와 정팔면체로 정사면체를 만들 수 있다는 사실을 떠올려 이 문제를 만들게 되었습니다.

세로의 길이가 \(x \), 가로의 길이가 \(y\)인 직사각형이 있다\((\)단 \(x\), \(y\)는 자연수이다\()\). 이 때 직사각형을 한 변의 길이가 \(1\)인 작은 정사각형들로 나눈 후 왼쪽 위 꼭짓점을 \(A\)라고 하고, 오른쪽 아래 꼭짓점을 \(B\)라고 하면 \(A\)에서 \(B\)까지 최단 거리로 가는 경우의 수는 모두 몇 가지인가? 또, \(A\)와 \(B\)를 제외한 임의의 꼭짓점 하나를 지웠을 때, 지워지는 최단 거리의 경우의 수는 최대 몇 가지인가? 또 지워지는 꼭짓점 수에 대한 공식을 만들 수 있을까?

직사각형과 정사각형에 대해 생각하다가 직사각형을 정사각형으로 나누는 것에 대해 생각을 했다. 그리고 최소(최대), 경우의 수, 거리라는 제시어에 맞춰 질문을 작성했다.

아래 그림과 같이 가로가 m칸, 세로가 n칸인 직사각형에서 마주보는 두 꼭짓점을 A, B라고 할때, A에서 B까지의 최장거리의 거리와 가짓수는?(단, 각 칸의 가로와 세로의 길이는 같다.)

A
											B

거리의 최단거리 문제만 있어서 최장거리 문제도 만들고 싶어졌다.

oo이는 오전 9시에 집에서 출발하여 140km 떨어진 사촌집에 다녀오려고 한다. 처음엔 시속 80km로 가다가, 다시 출발하여 시속 60km로 가서 오전 11시 이내에 사촌집에 도착하려고 했다.
1) 부등식을 세워라
2) 시속 80km로 달린 거리는 최대 몇 km인지 구하여라

최대와 거속시를 이용하여 부등식을 만들어보면 좋겠다고 생각했다.

한 변의 길이가 1cm인 작은 정사각형 9개로 이루어진 큰 정사각형(3x3)에서
시작점과 끝점을 큰 정사각형의 꼭짓점 중 대각선 방향의 정해진 두 점이라고 할 때,
최단 거리의 길이를 구하고, 그 최단 거리의 경우의 수를 구하여라.
                                                                                                                                                                                                                                                                       


                 도착
                       

경우의 수와 최단거리를 이용한 간단한 문제를 풀어보면 좋을 것 같다고 생각했기 때문이다.

가로 n칸, 세로 m칸 크기의 표가 있고, 가장 왼쪽 위에 있는 점을 A, 가장 오른쪽 아래에 있는 점을 B라고 한다. 이들 사이의 최단 거리에 특정 점을 지나야 하는 조건을 부여할 때, 이 점이 최소 몇 개 정해져야 경우의 수가 1이 되는가?
 

최단 거리를 결정하는 여러 조건에 관한 탐구 및 그 속에서 조건 속에서 의미하는 거리를 이해하는 문제 해결 능력에 관련된 문제.